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Desafios Matemáticos
Material
dos Desafios Matemáticos Gratuitos
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31- Quantos noves existem entre 0 e 100?
Existem 20 noves entre 0 e 100.
Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e mais os dez noves da dezena 9 (90, 91,92...99).
No total 10+10 = 20 noves.
32 - Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse:
"Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes."
Quanto custou o presente?
Solução enviada pelo visitante Renato Santos:
Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes.
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim:
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d)
ou
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d
Resolvendo:
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0
ou
991d + 10c -890b -8999a = 0
Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d.
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas:
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente:
10c = 8999a + 890b - 991d
Dividimos toda a equação pelo coeficiente:
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d
Separando as partes inteiras das frações,
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d
ou
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10.
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Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0.
Fica assim, 9a - d = 0
ou
d = 9a
Retornando este resultado à equação anterior, fica
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a)
ou
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim,
c = 8a
Lembremos ainda que a é 1 ou 0.
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00.
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9.
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado.
RESPOSTA: o presente custou R$1089,00
33- Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o penetra:
– Eu não fui, diz o Benjamim.
– Foi o Pedro, diz o Carlos.
– Foi o Carlos, diz o Mário.
– O Mário não tem razão, diz o Pedro.
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada?
Pedro não pagou!
Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar.
Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa.
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