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Desafios Matemáticos
Material
dos Desafios Matemáticos Gratuitos
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16 - Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis (poderiam ser todas verdes ou todas azuis). Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas verdes à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. Se, na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números?
Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de uma mesma cor, a sucessão de números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não há exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas cores.
Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na posição seguinte uma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita, então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo de A é n = a + r e o número escrito embaixo de R é a +1 + r – 1 = n.
Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita, enquanto que à esquerda de A há a bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1 bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam.
Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se repete duas vezes mais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas configurações.
Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última vermelha.
Sejam , , as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então + = 1999. Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número – 1, na seguinte, – 2, depois – 3, e assim por diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição ). Então, embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que tem – 1 embaixo.
Se < , os números 0, 1, 2, …, – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os números , + 1, + 2, …, – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, estes são , + 1 e + 2 = – 1. Portanto, + = 2 + 3, donde = 998, e os três números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e 1000.Se > , os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são , +1 e + 2 = – 1, donde + = 2 + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000.
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17 - Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar as operações +, -, *, /, e também os parênteses, se achar necessário.
A solução pode ser a seguinte:
(3+(3/7)) x 7
18 - Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo.
Qualquer número entre 0 e 1.
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