4 - EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. QUAL É O VALOR DE N ?
Podemos notar que a figura é parecida com um "A".
Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é:
C13,3 = 286
Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece:
Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos.
Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação.
5 - UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?
que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N.
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar.
LOJA 1 |
LOJA 2 |
LOJA 3 |
O homem entrou com N.
O homem GASTOU:
(N/2)+1.
Portanto o homem FICOU com:
N - ((N/2)+1)
= N-(N/2)-1
= (2N-N-2) / 2
= (N-2)/2 |
O homem entrou com (N-2)/2
O homem GASTOU:
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4
Portanto o homem FICOU com:
(N-2)/2 - ((N+2)/4)
= (2N-4-N-2) / 4
= (N-6)/4 |
O homem entrou com (N-6)/4
O homem GASTOU:
( (N-6)/4 )/2 + 1
= (N-6)/8 + 1
= (N+2)/8 |
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO:
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
N = 14
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!!
6- DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA:
DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1;
DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2;
DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3;
DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4;
DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5;
DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0.
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema:
X dividido por 2 dá resto 1.
X dividido por 3 dá resto 2.
e assim por diante até:
X dividido por 6 dá resto 5.
Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor.
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6.
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120.
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7.
CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521?
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:
1xxxx => P4 = 4! = 24
2xxxx => P4 = 4! = 24
3xxxx => P4 = 4! = 24
41xxx => P3 = 3! = 6
42xxx => P3 = 3! = 6
431xx => P2 = 2! = 2
432xx => P2 = 2! = 2
4351x => P1 = 1! = 1
Somando todas elas:
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89
Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.
Resposta: O número 43521 está na 90º posição.
